Géométrie du hasard

18 janvier 2016

Le calcul des probabilités est né en 1654, d'un problème relatif aux jeux de hasard proposé à un austère janséniste par un homme du monde. Voici l'origine du pari résumée deux siècles plus tard par Siméon-Denis Poisson, dont une loi porte le nom. L'homme du monde est Antoine Gombaud, dit chevalier de Méré, l'austère janséniste Blaise Pascal, dont nous avons déjà croisé le chemin ici.

Deux personnes s'opposent à un jeu de dés. Elles commencent par contribuer équitablement au pot et s'entendent sur un nombre de manches à gagner pour emporter la victoire. Le jeu se déroule en effet en manches successives indépendantes, chacune se concluant sur le succès de l'un ou l'autre des joueurs. Le problème soumis par le chevalier de Méré à Pascal est le suivant: quel est le juste partage du pot si le jeu est interrompu avant qu'un gagnant puisse être désigné?

Un roi sans divertissement est un homme plein de misères

(Pensées, fragment 142 de l'édition Brunschvicg plus tard emprunté à Pascal par Giono)

Pascal, alité, résout le problème dans deux lettres enthousiastes qu'il adresse à Fermat les 29 juillet et 24 août 1654. Il y alterne allègrement partis et parties, le masculin qui correspond au partage et le féminin qui correspond à la manche, rendant la lecture des lettres un peu acrobatique. Tous ses calculs, il les fait en pistoles, une pièce d'or dont la valeur s'expose en livres et dont le nom vient de l'italien, piccola piastra. Comme elle représentait deux écus on l'appelait doublon, ce qui ne rend pas nécessaire de reprendre la démonstration!

La solution de Pascal s'applique quels que soient le nombre de joueurs, la probabilité de chaque joueur de gagner une manche, le nombre de manches à gagner pour remporter la victoire et le moment de l'interruption du jeu. Très novatrice, sa preuve s'articule essentiellement autour d'une récurrence rétrograde. En voici l'illustration lorsque deux joueurs s'opposent, qu'ils ont autant de chance l'un que l'autre de gagner une manche, que trois manches gagnées sont synonymes de victoire et qu'ils engagent chacun 32 pistoles.

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La face d'un écu pistole

Tous les scénarios de déroulement du jeu peuvent être représentés par un arbre binaire. Notons a pour une manche gagnée par le joueur A et b pour une manche gagnée par le joueur B, de telle sorte que aaba signifie que A a gagné les deux premières manches, perdu la troisième et gagné la quatrième, remportant ainsi la victoire. Notons entre parenthèses la part du pot revenant au joueur A.

Les feuilles (c'est-à-dire les extrémités) de l'arbre binaire correspondent toutes à des configurations où l'un des joueurs a remporté la victoire et donc la totalité du pot. Les nombres entre parenthèses y sont donc égaux à 64 (victoire de A) ou à 0 (victoire de B). Les parts du pot revenant au joueur A sont déterminées à rebours en remontant le long des branches de l'arbre.

Considérons par exemple le nœud aabb. Deux issues équiprobables peuvent survenir: soit aabba et la victoire de A soit aabbb et sa défaite. Aussi, il revient une part ½(64+0)=32 au joueur A en cas d'interruption dans la configuration aabb.

Considérons maintenant le nœud aab. Deux issues équiprobables peuvent survenir: soit aaba et la victoire de A soit la configuration aabb étudiée plus tôt. Aussi, il revient une part ½(64+32)=48 au joueur A en cas d'interruption dans la configuration aab.

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La pile du même écu pistole

Jugeant sa solution comme l'une de ses plus importantes contributions à la science, Pascal envisage la rédaction d'un petit traité intitulé Géométrie du Hasard. Il ne le rédigera jamais. Inspiré par celle-ci, Christian Huygens écrira lui le premier traité sur le calcul des chances, le De ratiociniis in ludo aleae (Sur le calcul dans les jeux de hasard, 1657).

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