Iowa

08 février 2016

Vert paradis du maïs, l'Iowa, est un swing state: il peut tomber d'un côté ou de l'autre, démocrate ou républicain, lors de l'élection du président.

On sait — ou on apprend — que sa capitale est Des Moines et que la ville est célèbre parce que Lucky Luke y est passé dans la trente-quatrième histoire de la série, Les collines noires. Lucky Luke c'est le cow boy solitaire mais c'est aussi l'homme qui a de la chance. Quant aux frères Dalton, ils sont apparus dans le volume Les cousins Dalton. Leur apparition coïncide avec un tirage au sort. A la planche 40, il s'agit de savoir qui va être le premier à affronter Lucky Luke. Jack choisit pile, la pièce retombe sur face, et c'est quand même Jack qui commence.

Lucky Luke
Lucky Luke
(Morris, Expo Morris, 2016)

Loin de nous l'idée de comparer les rivaux républicains des primaires aux Dalton, ni les démocrates à Lucky Luke. Cela dit, il n'aura échappé à personne que les résultats entre les deux candidats démocrates, Hillary Clinton et Bernie Sanders, ont été extrêmement serrés, qu'ils sont même arrivés à égalité de voix dans six circonscriptions, et qu'ils ont été départagés par un tirage au sort. Avec une pièce de monnaie. A pile ou face. Et l'une l'a emporté six fois sur l'autre.

En tirant ainsi six fois indépendamment à pile ou face et en reportant les nombres cumulés de piles et de faces, les représentants démocrates ont tranché les six cas d'égalité selon la loi binômiale de paramètre (6,½), une loi que nous avons déjà croisée ici. Quelle est la vraisemblance de l'issue finale du tirage? Autrement dit, quelle est la probabilité de l'événement auquel nous avons tous assisté? L'indépendance se traduit par un produit, et la vraisemblance s'élève à un modeste ½ × ½ × ½ × ½ × ½ × ½ = (½)6=1/64. Hillary Clinton a eu beaucoup de chance!

Plus généralement, quelle est la probabilité que x piles et y=6-x faces soient observées? Puisque pile et face sont équiprobables, la réponse est de la forme C(6,x)/64, où C(6,x) est le nombre de façons qu'il y a d'obtenir x piles et y=6-x faces lors de six tirages successifs. Pour x=4 et y=6-4=2, deux des quinze façons sont, par exemple, pile, face, pile, pile, face, pile et pile, face, pile, pile, pile, face. Mais pourquoi quinze?

La géométrie du hasard de Pascal offre une réponse. Plutôt que d'énumérer les 64 configurations de six tirages dans un arbre binaire (à gauche pour pile, à droite pour face) et de dénombrer celles qui comptent x piles et y=6-x faces, Pascal procède récursivement. En exploitant le fait que pour obtenir x pile en six tirages il a fallu nécessairement en obtenir x-1 ou x en cinq, c'est-à-dire que

C(6,x) = C(5,x) + C(5, x-1),

Pascal se ramène à l'étude des configurations de cinq tirages. De proche en proche, il se ramène ainsi à des configurations élémentaires, et le tour est joué!

Appliquons cet algorithme dit du triangle de Pascal à l'exemple précédent:

C(6, 4)
= C(6, 2)
= C(5, 2) + C(5, 1)
= {C(4,2) + C(4,1)} + {C(4,1) + C(4,0)}
= {[C(3,2) + C(3,1)] + [C(3,1) + C(3,0)]} + {[C(3,1) + C(3,0)] + C(4,0)}
= {[(C(2,2) + C(2,1)) + C(3,1)] + [C(3,1) + C(3,0)]} + {[C(3,1) + C(3,0)] + C(4,0)}.

Or C(2,2) = 1, C(2,1)=2, C(3,1)=3, C(3,0)=1, C(4,0)=1, d'où C(6,4)=15, comme annoncé.

Two  million  people
Two million people
(Maira Kalman, And the pursuit of happiness, 2010)

Cela dit, souvenons-nous qu'en 1992 le candidat Clinton, avant de gagner la primaire démocrate puis l'élection présidentielle, n'avait recueilli que 3% des voix en Iowa.

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